Zadania różne - poziom rozszerzony część 2

 

Zad. 1 Dana jest funkcja f(x) = cosx.  Wyznacz wszystkie wartości parametru  , dla których równanie   ma rozwiązania.  (odp. )

Zad. 2 Rozwiąż równanie  . (odp.

Zad. 3 Udowodnić, że liczba postaci  jest podzielna przez10.

Zad. 4 Udowodnić, że liczba postaci  jest podzielna przez 3.

 

Zad. 5 Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej większej od 1 prawdziwa jest nierówność:    

                                               

Zad. 6 Napisz równanie krzywej, która jest zbiorem wszystkich punktów równooddalonych od prostej

y = 4 i punktu A = (a, b), gdzie A = (a, b) jest rozwiązaniem układu równań   i a < b. (odp. )

Zad. 7 Wewnątrz kąta o mierze  leży punkt odległy od jednego ramienia o d, zaś od drugiego ramienia odległy o b. Znaleźć odległość tego punktu od wierzchołka kąta.

Zad. 8 Wykazać, że jeżeli boki trójkąta mają długości a, b, c i spełniona jest równość     to jeden z kątów ma miarę  

Zad. 9 Ze zbioru   losujemy kolejno bez zwracania liczby a i b i na płaszczyźnie zaznaczamy punkt P = (a, b). Które ze zdarzeń A i B jest bardziej prawdopodobne, jeżeli zdarzenie A polega na tym, że otrzymany punkt P nie należy do wykresu funkcji    zaś B na tym, że współrzędne punktu P spełniają warunek a + b = 3 ? Sprawdź niezależność zdarzeń A i B. (odp. A jest bardziej prawd., zd. są zależne)

Zad. 10 Dana jest funkcja y = x - sin2x. Napisz równanie prostej, na której leżą punkty wykresu, w których funkcja f ma maksimum.  (odp.

Zad 11 Wyznacz A-B, gdzie A i B są odpowiednio zbiorami wartości funkcji  . (odp.   )

Zad. 12 Dane są trzy zdarzenia A, B, C parami niezależne i takie, że jednocześnie nie mogą zachodzić. Zakładamy, że prawdopodobieństwa ich zajścia są jednakowe i równe p. Obliczyć wartość parametru p, aby prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A, B, C było największe. (odp. p = )

Zad. 13 W trójkącie ABC poprowadzono prostą MN równoległą do prostej AB tak, że . Oblicz długość odcinka MN, jeśli dane są:   oraz miary     kątów trójkąta przy boku AB. (odp.  )


 

Zad. 14  a)  Wielokąt wypukły ma 12 wierzchołków . Ze zbioru wierzchołków tego wielokąta wybieramy jednocześnie losowo dwa wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A – prosta poprowadzona przez wybrane wierzchołki zawiera przekątną tego wielokąta , B – prosta poprowadzona przez wybrane wierzchołki dzieli wielokąt na trójkąt i wielokąt o 11 wierzchołkach.

b )  *  Wielokąt wypukły ma n wierzchołków. Ze zbioru wierzchołków tego wielokąta wybieramy jednocześnie losowo dwa wierzchołki. Wyznacz wszystkie wartości n tak, aby prawd. zdarzenia A – prosta poprowadzona przez wybrane wierzchołki zawiera przekątną tego wielokąta – była liczba z przedziału (0, 96;0, 98). (odp.  )

Zad. 15 Dany jest ciąg o n-tym wyrazie    . Wyznacz wartość parametru a tak, aby granica tego ciągu była liczba najmniejszą spośród liczb spełniających równanie 

                                             .

                                             *)  Sporządź wykres funkcji:  .

Zad. 16 W zależności od parametru k wyznacz liczbę rozwiązań równania .

Zad. 17 Liczby    są wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego takimi, że  .   Czy w tym ciągu liczba 0 występuje jako jeden z wyrazów? Jeśli tak, to jaki jest wskaźnik tego wyrazu?

Wykazać, że  

Zad. 18 Określ liczbę rozwiązań równania      jako funkcję parametru m a następnie naszkicuj wykres tej funkcji.

Zad. 19 Kąty trójkąta o bokach a, b, c mają miary    . Wykazać, że .

Zad. 20 Do pustych urn  i  wsypano łącznie 3 kule czarne, przy czym w  jest 2 razy więcej kul niż w . Do tych samych urn należy dosypać jeszcze łącznie trzy kule białe. Rzucamy kostką do gry. Gdy wypadnie mniej niż 5 oczek wybieramy urnę , w przeciwnym przypadku urnę  .

Z wybranej urny losujemy kulę. Tylko kula biała oznacza wygranie samochodu. Jak rozłożyć kule białe w tych urnach, aby prawdopodobieństwo wygrania samochodu było największe?

Zad. 21 Dane są dwie parabole o równaniach     oraz dwie proste, z których każda jest styczna do obu parabol. Sprawdź, że punkty styczności są wierzchołkami równoległoboku. Oblicz jego pole.

Zad. 22 Dane są funkcje : 

a)      Dla k = 2 rozwiąż nierówność: f (x) < g (x). Podaj interpretację geometryczną tej nierówności.

b)      Wyznacz te wartości parametru k, dla których równanie f (x) = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że suma odwrotności ich kwadratów jest większa od 5.

c)      Dla ilu całkowitych wartości parametru k wszystkie pierwiastki równania f (x) = 0 są mniejsze od 10?

Zad. 23 Odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego od jego krawędzi bocznej jest równa a. Krawędź boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze . Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa oraz tangens kąta nachylenia płaszczyzny ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.

 

Zad. 24 Ze zbioru liczb :     losujemy kolejno trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

A – suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3.

B – suma kwadratów wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3.


 

 

Zad. 25 Najdłuższy bok trójkąta rozwartokątnego ABC ma końce A = ( 0, 0 ) i B = (10, 0 ).

Punkt D = ( 2, 4 ) jest spodkiem wysokości tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A, zaś punkt

E = ( 9, 3 ) jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka B.

a)      Oblicz obwód trójkąta ABC.

b)      Oblicz wartość wyrażenia:

 

Zad. 26 Dany jest układ równań z niewiadomymi x, y:  

a)      Dla jakiej wartości parametru p układ ma nieskończenie wiele rozwiązań?

b)      Ze zbioru nieskończenie wielu rozwiązań tego układu wybierz takie, że x i y są współrzędnymi punktu należącego do zbioru .

c)      Podaj interpretację geometryczną uzyskanego rozwiązania.